单元 2 ：风险下的理性决策
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期望效用最大化的论证 | 反对期望效用最大化的论证 | MaxEU 的替代方案：风险规避 | 延伸阅读 | 自我测试
指导老师： Peter Hawke 教授、Darrell Rowbottom 教授
导言
当可供选择的方案全都有风险时，做出决定的理性方法是什么？本单元旨在介绍一个经典但有争议的提议：理性选择就是最大化期望效用。我们将概述支持和反对这一建议的一些著名论点，并考虑一种替代方案。
风险决策
面对一个决策问题，就是在不同选项（如：不同行动）之间做出选择，而这些选项会产生不同存在可能性的结果。通常情况下，出现哪种结果部分取决于决策者的选择，部分取决于其无法控制的因素。通常情况下，某些结果比其他结果更可取。
通常有一种合理的方法来表示结果是「更好」、「更差」还是「相等」，就是给每个结果（情况）附加一个实数。我们称之为结果效用，并以 u(O) 代表结果效用 O。如果 u(O1) > u(O2)，这表示 O1 严格来说比结果 O2 好（更可取），而 O2 严格来说不如 O1 。如果 u(O1) = u(O2)，则表示 O1 和 O2 相等——我们不会特别偏好其中一个。最后，如果 u(O1) ≥ u(O2)，则表示 O1 优于 O2 或两者相等。
效用不能总是等同于单纯的货币收益。关于这一点以及效用的性质，我们将在《效用》中详细论述。不过，对于许多说明性的决策问题（比如我们检视的那些问题），为了简单起见，我们可以将一个结果产生的效用等同于决策者在该结果中获得或损失的金钱数量。
概率是一个介于 0 和 1 之间的实数，用来衡量一个结果出现的可能性有多大：如果一个结果的概率为 0，那么它的可能性最小；如果一个结果的概率为 1，那么它的可能性就最大。当我们可以为每种可能的结果指定概率时，决策问题就是有风险的。在这种情况下，我们称每个可选方案为风险选项。我们用 p(O) 表示结果 O 的概率。
简单的决策问题可以用一个表格来表示。在两个风险选项（而每个风险选项都有两种可能的结果）之间做出决策的情况是这样的：
状态 1 | 状态 2 | |
赌局 1 | 结果 1 | 结果 2 |
赌局 2 | 结果 3 | 结果 4 |
（世界的）状态是事物可能呈现的一种方式，它（一）独立于决策者的选择，但（二）与该选择一起决定了哪种结果会出现。在上表中，行对应赌局；列对应状态；每个条目对应一个结果，记录与该结果相关的效用。
期望效用最大化的理性决策
有没有一种原则可以精确地决定在一个风险决策问题中选择哪种风险选项？这里有一个极具分量的提议：
期望效用最大化原则（MaxEU）。 在风险决策问题中进行理性选择，就是选择期望效用最大的赌局。
赌局的期望效用是赌局可能结果效用之和，每个结果效用都由那个结果的概率加权。更精确地说，对于赌局 G ：
eu(G) = p1u1 + p2u2 + ... + pnun
其中，O1,...,On 是 G 的可能结果，而 pi = p(Oi|G) ，以及 ui = u(Oi)，每 i 介于 1 和 n 之间，其中 p(O|G) 是在选择 G 时 O 发生的概率。MaxEU 表示，当 eu(G) 在所有现有风险选项中达到最高值时，选择 G 才是合理的。 简单的例子说明了 MaxEU 的说服力。
效用和概率
期望效用有两个关键部分。 第一部分是给定风险选项后的结果效用。第二部分是在该风险选项中，这些结果发生的可能性的权重。例如，在例 2 中，各行都列出了效用。要在该问题应用 MaxEU ，需要根据概率对每个可能结果效用进行加权，然后求出该风险选项的期望效用总和。然而，效用和概率本身就是模糊的概念。决策理论家们对这些术语的确切含义存在分歧。
1. 效用
一个人在某一结果中获得的效用并不总是等同于他在该结果中获得的货币收益（如果有的话）。例如，与失去你所拥有的许多美元中的一美元相比，你会更担心失去你的最后一美元，因为你的最后一美元对你来说会有更大的效用。同样，边际效用是指你从某件事情中获得的额外效用。你从彩票中赢得 100 万的边际效用要大于你下周以某种方式从彩票中再赢得 100 万的边际效用。钱是一样的，但效用却不一样。
谁的效用很重要？这取决于我们在做什么。如果我们是在为别人的利益做决定，那么他们的效用就是相关的考量因素。如果我们只是为了自己的利益做决定，那么我们的效用就是相关的考量因素。这些效用可能是相关的：例如，如果你希望别人得到他们想要的东西，那么你的效用就取决于他们的效用。
然而，我们往往很难知道别人想要什么，甚至连我们自己想要什么也很难确定。很多故事中，人们都苦于确定自己想要什么。在选择职业、做出政策决定或选择是否与某人结婚时，要确定和量化我们的偏好都颇为困难。由于效用是期望效用的基本要素，这意味着很难甚至不可能计算出我们的期望效用。
量化一个人的期望效用的方法之一，就是看他的实际决策，并假设这些决策对这个人来说是期望效用最大化的。你也可以通过观察自己的行为，将这种方法应用于自己的效用。因此，如果有人选择进行某种风险选项，那是因为他们认为这将使他们的效用最大化。如果我们也能了解到他们在决策过程中使用的概率，那么我们也就能计算出他们的效用。这种计算效用的方法被称为「揭示偏好理论」，因为它假定某个人的行为会揭示其期望效用。
揭示偏好理论在某些情况下比在其他情况下更有效。例如，人们的决策并不总是 MaxEU 意义上的理性决策。在这种情况下，他们的选择未必反映他们的真实偏好。另一个问题是，人们的效用会发生变化。曾经你可能非常在乎金钱和奢侈品，然后你读了一本关于生活的书，让你相信金钱和奢侈品并不那么重要。你在读这本书之前的行为便不能准确反映你读完这本书之后的期望效用。决策理论家们对于我们在多大程度上可以应用揭示偏好存在分歧。
安德雷・柯尔莫哥洛夫
2. 概率
那么决策理论中的概率呢？一个函数接收其域中的事物（如所有可能事件的集合），并给出一个输出（如一个数字）。概率函数 p 是将事件映射为实数的函数，具有以下特征：
Pr1. p 会给每个事件分配一个介于 0 和 1 之间的数字（或者，等价地，介于 0% 和 100% 之间），包括否定事件（例如，硬币没有掷出反面）、析取事件（例如，要么选择了冰淇淋或选择了蛋糕作为甜点）和合取事件（例如，选择了冰淇淋和蛋糕作为甜点）；
Pr2. 如果 e1 和 e2 都是事件，则 p 给析取事件e1 或 e2 的概率为：
p(e1 或 e2) := p(e1 和非e2) + p(e2 和非e1) + p(e1 和 e2)；
Pr3. p 对保证发生的事件赋值为 1（例如，p(e 或非e) = 1），p 对保证不发生的事件赋值为 0（例如，p(e 和非e) = 0）。
当这些公理用数学的精确语言来阐述时，它们就被称为柯尔莫戈罗夫公理，是以一位开创概率数学的数学家的名字命名的。
概率计算中所涉及的数字的解释（含义）是一个有争议的话题。我们对概率有许多不同的理解。现代决策理论早期（20 世纪中期）流行的一种观点是，把重点放在我们对事件重复发生时会发生什么的估计上。例如，想像一下一次公平的掷硬币。如果硬币被反复抛掷，而且从未磨损，那么迟早会出现规律，硬币正面出现的频率会越来越接近 50%。根据频率主义的概率观点，正是这一事实使得 0.5 成为掷硬币正面的概率。
频率主义分析能够解释许多传统的决策问题，这些问题涉及可重复的事件，例如掷硬币、汽车通过我们设计的桥梁，或者服用药物。然而，对于独特事件又会如何处理呢？例如，在管理核电站时，我们可能会关注某组特定粒子在特定时间段内是否会衰变。尽管我们关注的是一个不可重复的单一事件，但我们似乎仍然可以谈论这些粒子衰变的概率。即使在一个非常特殊的赌博问题中，也可以谈论概率。想像一下我们正在将物品丢弃回收。我们可能知道一副扑克牌再也不会被使用了。然而，如果我们准备从这副扑克牌中随机抽取一张牌，我们仍然可能知道从扑克牌中随机抽取到黑桃A的概率。使用频率主义的概率解释（含义）时，我们一般会遇上的问题是，我们只能谈论某类事件的概率，比如抛硬币的一般情况。因此，当我们需要对独特事件做出决策时，如何运用这种理解概率的方式就变得不清楚了。
因此，卡尔・波普尔（Karl Popper） 等哲学家提出了倾向性概率观。让我们以非常笼统的方式来使用「实验」一词，它包括任何具有明确特征的特殊情况，如一次抛硬币或核反应中的一组粒子。根据「倾向性」观点，每个实验都有相关物体的物理特性，这些特性决定了如果重复实验会发生什么，而正是这些特性决定了概率。例如，虽然每个粒子的放射性衰变都是独一无二的，但粒子的物理特性决定了如果能以某种方式重复再现它，它的衰变频率会有多高。一般来说，采用倾向性观点，我们可以将 MaxEU 应用于独特或可重复的事件，前提是我们对实验的物理特性有足够的了解。倾向性解释与频率主义解释不同，因为倾向性是相对频率的原因，而不是相对频率本身。
无论是频率论还是倾向论，做决定时我们有时只能知道概率，并在应用标准的 MaxEU。通常情况下，我们只能约略估计概率：使用统计方法，我们可以估计掷硬币正面的概率大致为 0.5，但这并不完全精确。然而，许多决策理论家对概率有不同的看法。他们认为，一个事件发生的概率就是我们有多大信心该事件会发生。这种概率观被称为概率的主观贝叶斯解释。我们对事件发生的信心称为信念程度。
卡尔・波普尔
埃德温・杰恩斯
在主观贝叶斯的概率论中，如果我们的信念程度可以通过概率函数 p 计算出来，那么它们就是我们的概率。因此，如果你对掷硬币会出现正面非常有信心，那么你对掷硬币会出现人头的概率就是一个接近 1 的数值；如果你对掷硬币不会出现正面非常有信心，那么你的概率就是接近 0 的数值；如果你不确定（不太肯定）会发生什么，那么你的概率就是接近 0.5 的数值。
这种对概率的解释在使用 MaxEU 的决策理论家中非常流行。它似乎经常给我们提供计算期望效用所需的概率。例如，对决策理论做出贡献的大多数重要经济学家，如伦纳德・萨维奇（Leonard J. Savage）、米尔顿・弗里德曼（Milton Friedman）、弗兰克・拉姆齐（Frank Ramsey）和约翰・冯・诺依曼（John von Neumann），都在决策理论中采用了这种概率解释。
不过，像埃德温・杰恩斯（Edwin Jaynes）这样的决策理论家同意主观贝叶斯论者的观点，认为概率应该是关于信念的，但批评了「相关信念程度仅仅是我们碰巧持有的信念」这一观点。相反，我们应该使用的信念程度是如果我们是理性的人就会持有的那种。因此，根据客观贝叶斯的观点，概率就是理性的信念。什么是理性？客观贝叶斯主义者对什么是理性的信条有很多看法，而且他们的观点并不一致。不过，像杰恩斯这样的客观贝叶斯主义者认为，通常存在唯一的理性信条，而主观贝叶斯主义者则认为，通常存在无数可能的信条，这些信条与其他信条一样「理性」。
他们之间的争论是贝叶斯学派之间更广泛争论的一部分，这些思想家要么采用主观贝叶斯主义，要么采用客观贝叶斯主义。 实际上，即使是主观贝叶斯主义者也很少认为正确的信念程度纯粹是个人选择或心理特质的问题。例如，想像一下某人在选择是否购买火灾保险。许多主观贝叶斯主义者会说，概率以至根据 MaxEU 做出的理性选择并非完全不受限制。例如，他们会说，你不应该绝对肯定火灾不会发生，因为你知道你的房子可能会被烧毁。
同样，许多客观贝叶斯主义者认为，在某些类型的决策问题中，并不存在唯一合理的信念程度。因此，贝叶斯学派之间存在着一个光谱：在一个极端，如果我们是完全理性的，我们就应该有唯一的信念程度；在另一个极端，我们可以用概率函数计算出的任何信念程度对于 MaxEU 来说都是完全可以接受的。
概率还有其他解释，但这些例子说明了它是如何成为一个有争议的话题。在做决策时，你赋予概率的含义对于如何计算期望效用非常重要。
期望效用最大化的论证
MaxEU 是否正确？我们已经看到，它在一些简单的情况下符合直觉。一个更普遍的论证是，它源于一串简短的基本直观主张（「公理」），这些主张描述了在给定结果效用的情况下，在风险决策问题中应该如何合理地将效用指定给风险选项。然后通过数学证明，如果公理成立，风险选项 G 所附带的效用就是 eu(G)。因此，采用 MaxEU 只要求人们接受这些公理，并且理性地选择效用最大的风险选项。
理论家们提出了各种公理。马丁・彼得森（Martin Petersen）提出了以下四个公理，合在一起就能达到目的：
EU1. 如果风险选项的所有结果都有效用 u，那么风险选项的效用就是 u。
EU2. 如果一种风险选项在所有状态下都一定会比另一种风险选项带来更好的结果，那么前者的效用就会超过后者；如果两种行为所带来的结果相同，那么它们的效用也相同。
EU3. 每一个决策问题都可以转化为一个具有等概率状态的决策问题，在这个问题中，所有风险选项的效用都会保持不变。
EU4. 如果两种结果的可能性相同，而较好的结果稍差一些，那么可以通过给另一种结果增加一定量的效用来补偿，这样风险选项的整体效用就会保持不变。
反对期望效用最大化的论证
对 MaxEU 的一个重要反对意见是，在一些决策问题中，MaxEU 对合理行动方案的判断可能是反直觉的。在某些问题中，它会允许非理性的选择。在另一些问题中，它又不允许做出明显的理性选择。由于 MaxEU 具有独立的说服力，这种情况通常被称为悖论。我们注意到三个突出的例子。
2. 圣彼得堡悖论
第二个悖论是丹尼尔・伯努利（Daniel Bernoulli）提出的。假设人们可以选择参加一个称为圣彼得堡游戏的不寻常游戏：你公平地掷硬币，直到有一枚正面出现，这时你会得到 $2n，其中 n 是掷硬币的次数。（因此，可能出现的结果有无数种。）或者，你也可以选择不玩，直接获得 100 万美元。
抛掷 1 次后正面朝上 | 抛掷 2 次后正面朝上 | 抛掷 3 次后正面朝上 | … | |
玩 | 2 美元 | 4 美元 | 8 美元 | … |
不玩 | 100 万美元 | 100 万美元$1m | 100 万美元 | … |
应该玩这个游戏吗？ 这似乎是不合理的：硬币极不可能出现很多次「反面」，让报酬超过 100 万美元。然而 MaxEU 却说，由于它有无限期望效用，玩这个游戏是理性的选择。要了解这一点，请注意，第 n 次抛掷硬币正面的概率是 0.5 × 0.5 × ... × 0.5 (n 次) = 1/2n。
eu(玩)
= ½ ×2+ ¼ ×4 × ...
= 1+1+1+...
= ∞
3. 埃尔斯伯格悖论
这个悖论是以经济学家丹尼尔・埃尔斯伯格（Daniel Ellsberg）的名字命名的。想像一下，你正在玩一个游戏，赌从盒子里抽出的球。你知道这些球是随机抽出的，它们可能是红色、黄色或黑色。你还知道盒子里有 1/3 的球是红色的。另外 2/3 是未知的黄黑混合色：可能是全黄，也可能是全黑，或者是两者之间的任何比例。
首先，你可以在两个赌局（赌局 A 和赌局 B）之间做出选择。如果你选择赌局 A，那么如果随机抽出的球是红色的，你就能赢 100 美元，否则什么也赢不到。如果你选择赌局 B，那么如果随机抽出的球是黄色的，你将赢得 100 美元，否则一无所获。
红色 | 黄色 | 黑色 | |
赌局 A | 100 美元 | 0 美元 | 0 美元 |
赌局 B | 0 美元 | 100 美元 | 0 美元 |
其次，你可以在赌局 C 和赌局 D 之间进行选择。如果你选择赌局 C，那么如果随机抽出的球是红色或黑色，你将赢得 100 美元，否则你将一无所获。如果你选择赌局 D，那么如果随机抽出的球是黄色或黑色，你将赢得 100 美元，反之则一无所获。
红色 | 黄色 | 黑色 | |
赌局 C | 100 美元 | 0 美元 | 100 美元 |
赌局 D | 0 美元 | 100 美元 | 100 美元 |
丹尼尔・埃尔斯伯格
在这类问题中，大多数人倾向于选择赌局 A 而非赌局 B，选择赌局 D 而非赌局 C。一种可能的解释是，大多数人都希望避免做出「模棱两可」的决定，即人们在做出选择时的概率不是基于对相对频率或倾向性的事先了解。在选择赌局 A 和赌局 B 的过程中，你知道有 1/3 的球是红色的，如果其中一个球被选中，你就会在赌局 A 中获胜。因此，你似乎更了解选择红球的相对概率和「实验」倾向性。相反，你并不知道选择黄球的相对频率或倾向性。同样，在选择赌局 C 和赌局 D 时，你知道有 2/3 的球是黄色或黑色的（赌局 D 的获胜条件），但你不知道选择红球或黑球的相对频率或倾向性（赌局 C 的获胜条件）。
然而，虽然 MaxEU 中有一些方法可以指定概率，证明赌局 A 优于赌局 B 或赌局 D 优于赌局 C 是合理的，但这种组合是不被允许的。如果你认为黑球的比例大于 1/3，那么你就有理由选择赌局 A 而不是赌局 B，因为你认为你更有可能赢得 100 美元的奖金。然而，如果黑球的比例大于 1/3，那么随机抽出的球更有可能是红色或黑色，而不是黄色或黑色，所以你应该选择赌局 C 而不是赌局 D。
设想一下，你猜有 3/6 的球是黑色的。因为你知道1/3 = 2/6 是红色的，所以只有1/6 是黄色的。乘以奖金，我们发现：
eu(赌局 A) = (2/6) × (100)
eu(赌局 B) = (1/6) × (100)
因此，eu(赌局 A) > eu(赌局B)。
然而，根据上述假设，赌局 D的获胜概率为 3/6 + 1/6，而赌局 C 的获胜概率为 2/6 + 3/6。因此：
eu(赌局 C) = (5/6) × (100)
eu(赌局 D) = (4/6) × (100)
因此，eu(赌局 C) > eu(赌局 D).
另一方面，如果你认为黑球的比例小于1/3，那么你就有理由选择赌局 D，而非赌局 C。然而，如果黑球的比例小于 1/3，那么随机抽出的球更有可能是红球而不是黄球，所以你应该选择赌局A，而不是赌局 B。
想像一下，你猜只有 1/6 的球是黑色的。既然 2/6 是红色的，那么 3/6 就是黄色的。那么，3/6 的球是红色或黑色的，而 4/6 球是黄色或黑色，所以：
eu(赌局 C) = (3/6) × (100)
eu(赌局 D) = (4/6) × (100)
因此， eu(赌局 D) > eu(赌局 C)。
这就证成了赌局 D应该比赌局 C 更受青睐，但没有证成赌局 A 比赌局 B更受青睐：
eu(赌局 A) = (2/6) × (100)
eu(赌局 B) = (3/6) × (100)
因此， eu(赌局 B) > eu(赌局 A)。
最后，如果你认为每种球各占1/3，那么你应该赌局A 或赌局 B都无特殊偏好，因为两者的期望效用都是 (1/3)(100)。 你也应该在赌局 C 和赌局 D 无特殊偏好，因为两者的期望效用都是 (5/6)(100)。因此，在埃尔斯伯格悖论中，大多数人的偏好是无法用MaxEU 证成的。
因此，许多人拥有被 MaxEU 否决的偏好。与其他一些非 MaxEU 的选择不同，我们无法证明他们的决定会导致他们亏损或使他们更有可能亏损。因此，埃尔斯伯格悖论令人费解：决策者可能会有一对看似合理的偏好，但 MaxEU 却无法将其合理化。
MaxEU 的替代方案：风险规避
有人认为阿莱斯悖论的寓意是 MaxEU 忽视了理性风险规避的可能性。我们可以进一步说明这一观点。
假设你可以在两个选项中做出选择。第一种是你获得 100 万美元，没有任何附加条件。第二个选项是，如果掷硬币的结果是正面，你将赢得 200 万美元；如果是反面，你将赢得 0 美元。
结果是正面 | 结果是反面 | |
赌局 1 | 100 万美元 | 100 万美元 |
赌局 2 | 200 万美元 | 0 万美元 |
MaxEU 意味着这两个选项同样合理：
eu(风险选项 2)= ½×2m + ½×0=1m=eu(风险选项 1)
但是，同样直观的是，一个完全理性的人可能会厌恶风险，在这种情况下，风险选项 1 显然是更可取的选择。如果是这样的话，MaxEU 就（有时）无法指明最理性的行动方案。
经济学家如肯尼斯・阿罗（Kenneth Arrow）诉诸于货币边际效用递减来解释选择风险选项 1 的不合理性：如果获得 200 万美元的效用小于获得 100 万美元效用的两倍，那么保证获得 100 万美元的期望效用就要比获得200 万美元和 0 美元之间机会均等的要高。然而，这种解释的问题在于，我们的例子可以轻易地重新表述为在保证获得x个效用单位和在2x个效用单位与零个效用单位之间机会均等的选择。同样，在这种情况下，风险规避似乎完全合理，但关于金钱相对效用的问题现在变得无关紧要了。
肯尼斯・阿罗
拉拉・布查克
作为一种替代策略，拉拉・布查克（Lara Buchak）建议我们用以下方法取代 MaxEU：
风险加权 MaxEU。在风险决策问题中理性选择就是选择具有最高风险加权期望效用的风险选项：其中赌博 G 的风险加权预期效用是 ，G 的可能结果 O 的效用总和，但每个结果都由 r(p(O|G)) 加权，其中p(O|G)是结果O的概率（给定 G），r是一个函数，用来衡量一个人根据结果的概率给予其多少权重，同时考虑到自己的风险规避水平。
举个例子，假设 r(p) = p2。直观地说，这反映了系统性风险规避。例如，如果 p(O1)=1/4 ，那么 r给 O1 的权重就是 1/16。如果 p(O2)= 9/10，那么 r 给 O2 的权重就是 81/100。 如果 p(O3)=1，那么 r 给 O3 的权重是 1。鉴于 r， 风险加权MaxEU 意味着在上例中风险选项 2 不是理性选择：
reu(风险选项2)= ¼ ×2m + ¼ ×0 = 500,000 < 1m = reu(风险选项1)
请注意，这个结果取决于赌博 1 会导致一个可能的结果（即收到 100 万美元的概率为 1），而赌博 2 会导致两个可能的结果（即以 1 的概率收到 100 万美元），而赌博 2 会导致两种可能的结果（即收到 200 万美元的概率为 0.5，收到 0 美元的概率为 0.5）。
然而，反对 MaxEU 的论证尚未具有决定性优势。例如，要权衡上一节中的论证与那些被认为是 MaxEU 反例的直觉并非易事。因此，关于 MaxEU 及其修改建议的争论可能会持续很多年。
Buchak, L. (2013), Risk and Rationality, Oxford University Press.
Jeffrey, R. (1983) The Logic of Decision, 2nd edn., University of Chicago Press.
Peterson, M. (2004) ‘From outcomes to acts: A non-standard axiomatization of the expected utility principle,’ Journal of Philosophical Logic 33: 361–78.
Peterson, M. (2017) An Introduction to Decision Theory (Cambridge Introductions to Philosophy), 2nd edn., Cambridge University Press.
Rowbottom, D. (2015) Probability (Key Concepts in Philosophy), Polity.
Savage, L.J. (1954) The Foundations of Statistics, John Wiley & Sons. (2nd edn. 1972, Dover.)
问题1：假设你参加了下面的游戏。 要掷一枚标准硬币。掷这枚硬币是有偏向性的：正面的概率是 0.65，反面的概率是 0.35。如果你选择正面，掷得正面，你将赢得 200 万美元奖金；如果你选择反面，掷得反面，你将赢得 500 万美元奖金；否则，你将一无所获。假设你只关心获得的奖金数额（越多越好），MaxEU 建议你选择哪个选项？
问题2：假设风险加权函数r(x)=x2 反映了你的风险规避水平。回想一下 Q1 中的决策问题。风险加权 MaxEU 建议你选择哪个选项？
Q3) 你要以公平的方式掷一枚标准硬币。我们用 H 表示硬币正面朝上；用 T 表示硬币反面朝上。由于掷硬币是公平的，我们可以用概率函数 p 来计算掷出不同结果的概率，即：p(H) = p(T)。此外，由于硬币只有一种落地方式，我们关于设置的基本信息还包括 ：
事件 「H」和 「是 H 而且不是 T」是相同的
事件 「T」和 「不是 H 而是 T」是相同的
事件 「既是 H 又是 T 」是不可能的
事件 「要么H，要么 T 」一定会发
鉴于这些基本信息，公理 PR1--PR3 意味着 p(H) 等于什么？
（正确！）
由于事件 「H 或 T 」一定会发生，所以根据公理 PR3 可以得出：
(1) p(H 或 T)=1
另一方面，根据公理 PR2可以得出：
(2) p(H 或 T)= p(H 且非T) + p(T且非H) + p(H 和 T)
事件「H 且非T」 相当于H，而「T且非H」相当于T。此外，由于事件「H 和 T」是不可能的，根据 PR3，p(H和T)=0。因此，(1) 和 (2) 意味着：
(3) p(H) + p(T) = 1
最后，回想 p(H) = p(T)，因为掷硬币是公平的。因此， (3) 意味着：
(4) p(H) + p(H) = 1
所以，p(H) = 1/2。
（不正确）正确答案是 ½。
（不正确）正确答案是 ½。
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