單元 2 ：風險下的理性決策
快速存取：導言 | 學習成果 | 第 1 節 什麼是風險？ | 期望效用最大化的理性決策 | 效用和概率
期望效用最大化的論證 | 反對期望效用最大化的論證 | MaxEU 的替代方案：風險規避 | 延伸閱讀 | 自我測試
指導老師： Peter Hawke 教授、Darrell Rowbottom 教授
導言
當可供選擇的方案全都有風險時，做出決定的理性方法是什麼？本單元旨在介紹一個經典但有爭議的提議：理性選擇就是最大化期望效用。我們將概述支持和反對這一建議的一些著名論點，並考慮一種替代方案。
風險決策
面對一個決策問題，就是在不同選項（如：不同行動）之間做出選擇，而這些選項會產生不同存在可能性的結果。通常情況下，出現哪種結果部分取決於決策者的選擇，部分取決於其無法控制的因素。通常情況下，某些結果比其他結果更可取。
通常有一種合理的方法來表示結果是「更好」、「更差」還是「相等」，就是給每個結果（情況）附加一個實數。我們稱之為結果效用，並以 u(O) 代表結果效用 O。如果 u(O1) > u(O2)，這表示 O1 嚴格來說比結果 O2 好（更可取），而 O2 嚴格來說不如 O1 。如果 u(O1) = u(O2)，則表示 O1 和 O2 相等——我們不會特別偏好其中一個。最後，如果 u(O1) ≧ u(O2)，則表示 O1 優於 O2 或兩者相等。
效用不能總是等同於單純的貨幣收益。關於這一點以及效用的性質，我們將在《效用》中詳細論述。不過，對於許多說明性的決策問題（比如我們檢視的那些問題），為了簡單起見，我們可以將一個結果產生的效用等同於決策者在該結果中獲得或損失的金錢數量。
概率是一個介於 0 和 1 之間的實數，用來衡量一個結果出現的可能性有多大：如果一個結果的概率為 0，那麼它的可能性最小；如果一個結果的概率為 1，那麼它的可能性就最大。當我們可以為每種可能的結果指定概率時，決策問題就是有風險的。在這種情況下，我們稱每個可選方案為風險選項。我們用 p(O) 表示結果 O 的概率。
簡單的決策問題可以用一個表格來表示。在兩個風險選項（而每個風險選項都有兩種可能的結果）之間做出決策的情況是這樣的：
狀態 1 | 狀態 2 | |
賭局 1 | 結果 1 | 結果 2 |
賭局 2 | 結果 3 | 結果 4 |
（世界的）狀態是事物可能呈現的一種方式，它（一）獨立於決策者的選擇，但（二）與該選擇一起決定了哪種結果會出現。在上表中，行對應賭局；列對應狀態；每個條目對應一個結果，記錄與該結果相關的效用。
期望效用最大化的理性決策
有沒有一種原則可以精確地決定在一個風險決策問題中選擇哪種風險選項？這裡有一個極具分量的提議：
期望效用最大化原則（MaxEU）。 在風險決策問題中進行理性選擇，就是選擇期望效用最大的賭局。
賭局的期望效用是賭局可能結果效用之和，每個結果效用都由那個結果的概率加權。更精確地說，對於賭局 G ：
eu(G) = p1u1 + p2u2 + ... + pnun
其中，O1,...,On 是 G 的可能結果，而 pi = p(Oi|G) ，以及 ui = u(Oi)，每 i 介於 1 和 n 之間，其中 p(O|G) 是在選擇 G 時 O 發生的概率。MaxEU 表示，當 eu(G) 在所有現有風險選項中達到最高值時，選擇 G 才是合理的。 簡單的例子說明了 MaxEU 的說服力。
效用和概率
期望效用有兩個關鍵部分。 第一部分是給定風險選項後的結果效用。第二部分是在該風險選項中，這些結果發生的可能性的權重。例如，在例 2 中，各行都列出了效用。要在該問題應用 MaxEU ，需要根據概率對每個可能結果效用進行加權，然後求出該風險選項的期望效用總和。然而，效用和概率本身就是模糊的概念。決策理論家們對這些術語的確切含義存在分歧。
1. 效用
一個人在某一結果中獲得的效用並不總是等同於他在該結果中獲得的貨幣收益（如果有的話）。例如，與失去你所擁有的許多美元中的一美元相比，你會更擔心失去你的最後一美元，因為你的最後一美元對你來說會有更大的效用。同樣，邊際效用是指你從某件事情中獲得的額外效用。你從彩票中贏得 100 萬的邊際效用要大於你下周以某種方式從彩票中再贏得 100 萬的邊際效用。錢是一樣的，但效用卻不一樣。
誰的效用很重要？這取決於我們在做什麼。如果我們是在為別人的利益做決定，那麼他們的效用就是相關的考量因素。如果我們只是為了自己的利益做決定，那麼我們的效用就是相關的考量因素。這些效用可能是相關的：例如，如果你希望別人得到他們想要的東西，那麼你的效用就取決於他們的效用。
然而，我們往往很難知道別人想要什麼，甚至連我們自己想要什麼也很難確定。很多故事中，人們都苦於確定自己想要什麼。在選擇職業、做出政策決定或選擇是否與某人結婚時，要確定和量化我們的偏好都頗為困難。由於效用是期望效用的基本要素，這意味著很難甚至不可能計算出我們的期望效用。
量化一個人的期望效用的方法之一，就是看他的實際決策，並假設這些決策對這個人來說是期望效用最大化的。你也可以通過觀察自己的行為，將這種方法應用於自己的效用。因此，如果有人選擇進行某種風險選項，那是因為他們認為這將使他們的效用最大化。如果我們也能了解到他們在決策過程中使用的概率，那麼我們也就能計算出他們的效用。這種計算效用的方法被稱為「揭示偏好理論」，因為它假定某個人的行為會揭示其期望效用。
揭示偏好理論在某些情況下比在其他情況下更有效。例如，人們的決策並不總是 MaxEU 意義上的理性決策。在這種情況下，他們的選擇未必反映他們的真實偏好。另一個問題是，人們的效用會發生變化。曾經你可能非常在乎金錢和奢侈品，然後你讀了一本關於生活的書，讓你相信金錢和奢侈品並不那麼重要。你在讀這本書之前的行為便不能準確反映你讀完這本書之後的期望效用。決策理論家們對於我們在多大程度上可以應用揭示偏好存在分歧。
安德雷·柯爾莫哥洛夫
2. 概率
那麼決策理論中的概率呢？一個函數接收其域中的事物（如所有可能事件的集合），並給出一個輸出（如一個數字）。概率函數 p 是將事件映射為實數的函數，具有以下特徵：
Pr1. p 會給每個事件分配一個介於 0 和 1 之間的數字（或者，等價地，介於 0% 和 100% 之間），包括否定事件（例如，硬幣沒有擲出反面）、析取事件（例如，要麼選擇了冰淇淋或選擇了蛋糕作為甜點）和合取事件（例如，選擇了冰淇淋和蛋糕作為甜點）；
Pr2. 如果 e1 和 e2 都是事件，則 p 給析取事件e1 或 e2 的概率為：
p(e1 或 e2) := p(e1 和非e2) + p(e2 和非e1) + p(e1 和 e2)；
Pr3. p 對保證發生的事件賦值為 1（例如，p(e 或非e) = 1），p 對保證不發生的事件賦值為 0（例如，p(e 和非e) = 0）。
當這些公理用數學的精確語言來闡述時，它們就被稱為柯爾莫戈羅夫公理，是以一位開創概率數學的數學家的名字命名的。
概率計算中所涉及的數字的解釋（含義）是一個有爭議的話題。我們對概率有許多不同的理解。現代決策理論早期（20 世紀中期）流行的一種觀點是，把重點放在我們對事件重複發生時會發生什麼的估計上。例如，想像一下一次公平的擲硬幣。如果硬幣被反復拋擲，而且從未磨損，那麼遲早會出現規律，硬幣正面出現的頻率會越來越接近 50%。根據頻率主義的概率觀點，正是這一事實使得 0.5 成為擲硬幣正面的概率。
頻率主義分析能夠解釋許多傳統的決策問題，這些問題涉及可重複的事件，例如擲硬幣、汽車通過我們設計的橋樑，或者服用藥物。然而，對於獨特事件又會如何處理呢？例如，在管理核電站時，我們可能會關注某組特定粒子在特定時間段內是否會衰變。儘管我們關注的是一個不可重複的單一事件，但我們似乎仍然可以談論這些粒子衰變的概率。即使在一個非常特殊的賭博問題中，也可以談論概率。想像一下我們正在將物品丟棄回收。我們可能知道一副撲克牌再也不會被使用了。然而，如果我們準備從這副撲克牌中隨機抽取一張牌，我們仍然可能知道從撲克牌中隨機抽取到黑桃A的概率。使用頻率主義的概率解釋（含義）時，我們一般會遇上的問題是，我們只能談論某類事件的概率，比如拋硬幣的一般情況。因此，當我們需要對獨特事件做出決策時，如何運用這種理解概率的方式就變得不清楚了。
因此，卡爾·波普爾（Karl Popper） 等哲學家提出了傾向性概率觀。讓我們以非常籠統的方式來使用「實驗」一詞，它包括任何具有明確特徵的特殊情況，如一次拋硬幣或核反應中的一組粒子。根據「傾向性」觀點，每個實驗都有相關物體的物理特性，這些特性決定了如果重複實驗會發生什麼，而正是這些特性決定了概率。例如，雖然每個粒子的放射性衰變都是獨一無二的，但粒子的物理特性決定了如果能以某種方式重複再現它，它的衰變頻率會有多高。一般來說，採用傾向性觀點，我們可以將 MaxEU 應用於獨特或可重複的事件，前提是我們對實驗的物理特性有足夠的了解。傾向性解釋與頻率主義解釋不同，因為傾向性是相對頻率的原因，而不是相對頻率本身。
無論是頻率論還是傾向論，做決定時我們有時只能知道概率，並在應用標准的 MaxEU。通常情況下，我們只能約略估計概率：使用統計方法，我們可以估計擲硬幣正面的概率大致為 0.5，但這並不完全精確。然而，許多決策理論家對概率有不同的看法。他們認為，一個事件發生的概率就是我們有多大信心該事件會發生。這種概率觀被稱為概率的主觀貝葉斯解釋。我們對事件發生的信心稱為信念程度。
卡爾·波普爾
埃德溫·傑恩斯
在主觀貝葉斯的概率論中，如果我們的信念程度可以通過概率函數 p 計算出來，那麼它們就是我們的概率。因此，如果你對擲硬幣會出現正面非常有信心，那麼你對擲硬幣會出現人頭的概率就是一個接近 1 的數值；如果你對擲硬幣不會出現正面非常有信心，那麼你的概率就是接近 0 的數值；如果你不確定（不太肯定）會發生什麼，那麼你的概率就是接近 0.5 的數值。
這種對概率的解釋在使用 MaxEU 的決策理論家中非常流行。它似乎經常給我們提供計算期望效用所需的概率。例如，對決策理論做出貢獻的大多數重要經濟學家，如倫納德·薩維奇（Leonard J. Savage）、米爾頓·弗裡德曼（Milton Friedman）、弗蘭克·拉姆齊（Frank Ramsey）和約翰·馮·諾依曼（John von Neumann），都在決策理論中採用了這種概率解釋。
不過，像埃德溫·傑恩斯（Edwin Jaynes）這樣的決策理論家同意主觀貝葉斯論者的觀點，認為概率應該是關於信念的，但批評了「相關信念程度僅僅是我們碰巧持有的信念」這一觀點。相反，我們應該使用的信念程度是如果我們是理性的人就會持有的那種。因此，根據客觀貝葉斯的觀點，概率就是理性的信念。什麼是理性？客觀貝葉斯主義者對什麼是理性的信條有很多看法，而且他們的觀點並不一致。不過，像傑恩斯這樣的客觀貝葉斯主義者認為，通常存在唯一的理性信條，而主觀貝葉斯主義者則認為，通常存在無數可能的信條，這些信條與其他信條一樣「理性」。
他們之間的爭論是貝葉斯學派之間更廣泛爭論的一部分，這些思想家要麼採用主觀貝葉斯主義，要麼採用客觀貝葉斯主義。 實際上，即使是主觀貝葉斯主義者也很少認為正確的信念程度純粹是個人選擇或心理特質的問題。例如，想像一下某人在選擇是否購買火災保險。許多主觀貝葉斯主義者會說，概率以至根據 MaxEU 做出的理性選擇並非完全不受限制。例如，他們會說，你不應該絕對肯定火災不會發生，因為你知道你的房子可能會被燒毀。
同樣，許多客觀貝葉斯主義者認為，在某些類型的決策問題中，並不存在唯一合理的信念程度。因此，貝葉斯學派之間存在著一個光譜：在一個極端，如果我們是完全理性的，我們就應該有唯一的信念程度；在另一個極端，我們可以用概率函數計算出的任何信念程度對於 MaxEU 來說都是完全可以接受的。
概率還有其他解釋，但這些例子說明了它是如何成為一個有爭議的話題。在做決策時，你賦予概率的含義對於如何計算期望效用非常重要。
期望效用最大化的論證
MaxEU 是否正確？我們已經看到，它在一些簡單的情況下符合直覺。一個更普遍的論證是，它源於一串簡短的基本直觀主張（「公理」），這些主張描述了在給定結果效用的情況下，在風險決策問題中應該如何合理地將效用指定給風險選項。然後通過數學證明，如果公理成立，風險選項 G 所附帶的效用就是 eu(G)。因此，採用 MaxEU 只要求人們接受這些公理，並且理性地選擇效用最大的風險選項。
理論家們提出了各種公理。馬丁·彼得森（Martin Petersen）提出了以下四個公理，合在一起就能達到目的：
EU1. 如果風險選項的所有結果都有效用 u，那麼風險選項的效用就是 u。
EU2. 如果一種風險選項在所有狀態下都一定會比另一種風險選項帶來更好的結果，那麼前者的效用就會超過後者；如果兩種行為所帶來的結果相同，那麼它們的效用也相同。
EU3. 每一個決策問題都可以轉化為一個具有等概率狀態的決策問題，在這個問題中，所有風險選項的效用都會保持不變。
EU4. 如果兩種結果的可能性相同，而較好的結果稍差一些，那麼可以通過給另一種結果增加一定量的效用來補償，這樣風險選項的整體效用就會保持不變。
反對期望效用最大化的論證
對 MaxEU 的一個重要反對意見是，在一些決策問題中，MaxEU 對合理行動方案的判斷可能是反直覺的。在某些問題中，它會允許非理性的選擇。在另一些問題中，它又不允許做出明顯的理性選擇。由於 MaxEU 具有獨立的說服力，這種情況通常被稱為悖論。我們注意到三個突出的例子。
2. 聖彼得堡悖論
第二個悖論是丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）提出的。假設人們可以選擇參加一個稱為聖彼得堡游戲的不尋常游戲：你公平地擲硬幣，直到有一枚正面出現，這時你會得到 $2n，其中 n 是擲硬幣的次數。（因此，可能出現的結果有無數種。）或者，你也可以選擇不玩，直接獲得 100 萬美元。
拋擲 1 次後正面朝上 | 拋擲 2 次後正面朝上 | 拋擲 3 次後正面朝上 | … | |
玩 | 2 美元 | 4 美元 | 8 美元 | … |
不玩 | 100 萬美元 | 100 萬美元$1m | 100 萬美元 | … |
應該玩這個遊戲嗎？ 這似乎是不合理的：硬幣極不可能出現很多次「反面」，讓報酬超過 100 萬美元。然而 MaxEU 卻說，由於它有無限期望效用，玩這個遊戲是理性的選擇。要了解這一點，請注意，第 n 次拋擲硬幣正面的概率是 0.5 × 0.5 × ... × 0.5 (n 次) = 1/2n。
eu(玩)
= ½ ×2+ ¼ ×4 × ...
= 1+1+1+...
= ∞
3. 埃爾斯伯格悖論
這個悖論是以經濟學家丹尼爾·埃爾斯伯格（Daniel Ellsberg）的名字命名的。想像一下，你正在玩一個游戲，賭從盒子裡抽出的球。你知道這些球是隨機抽出的，它們可能是紅色、黃色或黑色。你還知道盒子裡有 1/3 的球是紅色的。另外 2/3 是未知的黃黑混合色：可能是全黃，也可能是全黑，或者是兩者之間的任何比例。
首先，你可以在兩個賭局（賭局 A 和賭局 B）之間做出選擇。如果你選擇賭局 A，那麼如果隨機抽出的球是紅色的，你就能贏 100 美元，否則什麼也贏不到。如果你選擇賭局 B，那麼如果隨機抽出的球是黃色的，你將贏得 100 美元，否則一無所獲。
紅色 | 黃色 | 黑色 | |
賭局 A | 100 美元 | 0 美元 | 0 美元 |
賭局 B | 0 美元 | 100 美元 | 0 美元 |
其次，你可以在賭局 C 和賭局 D 之間進行選擇。如果你選擇賭局 C，那麼如果隨機抽出的球是紅色或黑色，你將贏得 100 美元，否則你將一無所獲。如果你選擇賭局 D，那麼如果隨機抽出的球是黃色或黑色，你將贏得 100 美元，反之則一無所獲。
紅色 | 黃色 | 黑色 | |
賭局 C | 100 美元 | 0 美元 | 100 美元 |
賭局 D | 0 美元 | 100 美元 | 100 美元 |
丹尼爾·埃爾斯伯格
在這類問題中，大多數人傾向於選擇賭局 A 而非賭局 B，選擇賭局 D 而非賭局 C。一種可能的解釋是，大多數人都希望避免做出「模稜兩可」的決定，即人們在做出選擇時的概率不是基於對相對頻率或傾向性的事先了解。在選擇賭局 A 和賭局 B 的過程中，你知道有 1/3 的球是紅色的，如果其中一個球被選中，你就會在賭局 A 中獲勝。因此，你似乎更了解選擇紅球的相對概率和「實驗」傾向性。相反，你並不知道選擇黃球的相對頻率或傾向性。同樣，在選擇賭局 C 和賭局 D 時，你知道有 2/3 的球是黃色或黑色的（賭局 D 的獲勝條件），但你不知道選擇紅球或黑球的相對頻率或傾向性（賭局 C 的獲勝條件）。
然而，雖然 MaxEU 中有一些方法可以指定概率，證明賭局 A 優於賭局 B 或賭局 D 優於賭局 C 是合理的，但這種組合是不被允許的。如果你認為黑球的比例大於 1/3，那麼你就有理由選擇賭局 A 而不是賭局 B，因為你認為你更有可能贏得 100 美元的獎金。然而，如果黑球的比例大於 1/3，那麼隨機抽出的球更有可能是紅色或黑色，而不是黃色或黑色，所以你應該選擇賭局 C 而不是賭局 D。
設想一下，你猜有 3/6 的球是黑色的。因為你知道1/3 = 2/6 是紅色的，所以只有1/6 是黃色的。乘以獎金，我們發現：
eu(賭局 A) = (2/6) × (100)
eu(賭局 B) = (1/6) × (100)
因此，eu(賭局 A) > eu(賭局B)。
然而，根據上述假設，賭局 D的獲勝概率為 3/6 + 1/6，而賭局 C 的獲勝概率為 2/6 + 3/6。因此：
eu(賭局 C) = (5/6) × (100)
eu(賭局 D) = (4/6) × (100)
因此，eu(賭局 C) > eu(賭局 D).
另一方面，如果你認為黑球的比例小於1/3，那麼你就有理由選擇賭局 D，而非賭局 C。然而，如果黑球的比例小於 1/3，那麼隨機抽出的球更有可能是紅球而不是黃球，所以你應該選擇賭局A，而不是賭局 B。
想像一下，你猜只有 1/6 的球是黑色的。既然 2/6 是紅色的，那麼 3/6 就是黃色的。那麼，3/6 的球是紅色或黑色的，而 4/6 球是黃色或黑色，所以：
eu(賭局 C) = (3/6) × (100)
eu(賭局 D) = (4/6) × (100)
因此， eu(賭局 D) > eu(賭局 C)。
這就證成了賭局 D應該比賭局 C 更受青睞，但沒有證成賭局 A 比賭局 B更受青睞：
eu(賭局 A) = (2/6) × (100)
eu(賭局 B) = (3/6) × (100)
因此， eu(賭局 B) > eu(賭局 A)。
最後，如果你認為每種球各佔1/3，那麼你應該賭局A 或賭局 B都無特殊偏好，因為兩者的期望效用都是 (1/3)(100)。 你也應該在賭局 C 和賭局 D 無特殊偏好，因為兩者的期望效用都是 (5/6)(100)。因此，在埃爾斯伯格悖論中，大多數人的偏好是無法用MaxEU 證成的。
因此，許多人擁有被 MaxEU 否決的偏好。與其他一些非 MaxEU 的選擇不同，我們無法證明他們的決定會導致他們虧損或使他們更有可能虧損。因此，埃爾斯伯格悖論令人費解：決策者可能會有一對看似合理的偏好，但 MaxEU 卻無法將其合理化。
MaxEU 的替代方案：風險規避
有人認為阿萊斯悖論的寓意是 MaxEU 忽視了理性風險規避的可能性。我們可以進一步說明這一觀點。
假設你可以在兩個選項中做出選擇。第一種是你獲得 100 萬美元，沒有任何附加條件。第二個選項是，如果擲硬幣的結果是正面，你將贏得 200 萬美元；如果是反面，你將贏得 0 美元。
結果是正面 | 結果是反面 | |
賭局 1 | 100 萬美元 | 100 萬美元 |
賭局 2 | 200 萬美元 | 0 萬美元 |
MaxEU 意味著這兩個選項同樣合理：
eu(風險選項 2)= ½×2m + ½×0=1m=eu(風險選項 1)
但是，同樣直觀的是，一個完全理性的人可能會厭惡風險，在這種情況下，風險選項 1 顯然是更可取的選擇。如果是這樣的話，MaxEU 就（有時）無法指明最理性的行動方案。
經濟學家如肯尼斯·阿羅（Kenneth Arrow）訴諸於貨幣邊際效用遞減來解釋選擇風險選項 1 的不合理性：如果獲得 200 萬美元的效用小於獲得 100 萬美元效用的兩倍，那麼保證獲得 100 萬美元的期望效用就要比獲得200 萬美元和 0 美元之間機會均等的要高。然而，這種解釋的問題在於，我們的例子可以輕易地重新表述為在保證獲得x個效用單位和在2x個效用單位與零個效用單位之間機會均等的選擇。同樣，在這種情況下，風險規避似乎完全合理，但關於金錢相對效用的問題現在變得無關緊要了。
肯尼斯·阿羅
拉拉·布查克
作為一種替代策略，拉拉·布查克（Lara Buchak）建議我們用以下方法取代 MaxEU：
風險加權 MaxEU。在風險決策問題中理性選擇就是選擇具有最高風險加權期望效用的風險選項：其中賭博 G 的風險加權預期效用是 ，G 的可能結果 O 的效用總和，但每個結果都由 r(p(O|G)) 加權，其中p(O|G)是結果O的概率（給定 G），r是一個函數，用來衡量一個人根據結果的概率給予其多少權重，同時考慮到自己的風險規避水平。
舉個例子，假設 r(p) = p2。直觀地說，這反映了系統性風險規避。例如，如果 p(O1)=1/4 ，那麼 r給 O1 的權重就是 1/16。如果 p(O2)= 9/10，那麼 r 給 O2 的權重就是 81/100。 如果 p(O3)=1，那麼 r 給 O3 的權重是 1。鑑於 r， 風險加權MaxEU 意味著在上例中風險選項 2 不是理性選擇：
reu(風險選項2)= ¼ ×2m + ¼ ×0 = 500,000 < 1m = reu(風險選項1)
請注意，這個結果取決於賭博 1 會導致一個可能的結果（即收到 100 萬美元的概率為 1），而賭博 2 會導致兩個可能的結果（即以 1 的概率收到 100 萬美元），而賭博 2 會導致兩種可能的結果（即收到 200 萬美元的概率為 0.5，收到 0 美元的概率為 0.5）。
然而，反對 MaxEU 的論證尚未具有決定性優勢。例如，要權衡上一節中的論證與那些被認為是 MaxEU 反例的直覺並非易事。因此，關於 MaxEU 及其修改建議的爭論可能會持續很多年。
Buchak, L. (2013), Risk and Rationality, Oxford University Press.
Jeffrey, R. (1983) The Logic of Decision, 2nd edn., University of Chicago Press.
Peterson, M. (2004) ‘From outcomes to acts: A non-standard axiomatization of the expected utility principle,’ Journal of Philosophical Logic 33: 361–78.
Peterson, M. (2017) An Introduction to Decision Theory (Cambridge Introductions to Philosophy), 2nd edn., Cambridge University Press.
Rowbottom, D. (2015) Probability (Key Concepts in Philosophy), Polity.
Savage, L.J. (1954) The Foundations of Statistics, John Wiley & Sons. (2nd edn. 1972, Dover.)
問題1：假設你參加了下面的游戲。 要擲一枚標準硬幣。擲這枚硬幣是有偏向性的：正面的概率是 0.65，反面的概率是 0.35。如果你選擇正面，擲得正面，你將贏得 200 萬美元獎金；如果你選擇反面，擲得反面，你將贏得 500 萬美元獎金；否則，你將一無所獲。假設你只關心獲得的獎金數額（越多越好），MaxEU 建議你選擇哪個選項？
問題2：假設風險加權函數r(x)=x2 反映了你的風險規避水平。回想一下 Q1 中的決策問題。風險加權 MaxEU 建議你選擇哪個選項？
Q3) 你要以公平的方式擲一枚標準硬幣。我們用 H 表示硬幣正面朝上；用 T 表示硬幣反面朝上。由於擲硬幣是公平的，我們可以用概率函數 p 來計算擲出不同結果的概率，即：p(H) = p(T)。此外，由於硬幣只有一種落地方式，我們關於設置的基本信息還包括 ：
事件 「H」和 「是 H 而且不是 T」是相同的
事件 「T」和 「不是 H 而是 T」是相同的
事件 「既是 H 又是 T 」是不可能的
事件 「要麼H，要麼 T 」一定會發
鑑於這些基本信息，公理 PR1--PR3 意味著 p(H) 等於什麼？
（正確！）
由於事件 「H 或 T 」一定會發生，所以根據公理 PR3 可以得出：
(1) p(H 或 T)=1
另一方面，根據公理 PR2可以得出：
(2) p(H 或 T)= p(H 且非T) + p(T且非H) + p(H 和 T)
事件「H 且非T」 相當於H，而「T且非H」相當於T。此外，由於事件「H 和 T」是不可能的，根據 PR3，p(H和T)=0。因此，(1) 和 (2) 意味著：
(3) p(H) + p(T) = 1
最後，回想 p(H) = p(T)，因為擲硬幣是公平的。因此， (3) 意味著：
(4) p(H) + p(H) = 1
所以，p(H) = 1/2。
（不正確）正確答案是 ½。
（不正確）正確答案是 ½。
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